浮点数详解（一篇彻底学通浮点数）

文章目录

浮点数一.什么是浮点数二.浮点数的形式1.非规格化浮点数2.规格化浮点数

三.IEEE754标准浮点数1.单精度浮点数2.双精度浮点数

四.浮点数的运算1.浮点数的加减法2.浮点数的乘除法

五.C语言中的浮点数分析

浮点数

一.什么是浮点数

浮点数是与定点数相对的概念，计算机中的定点数约定小数点的位置不变，即人为约定俗成地规定了一个数小数点的位置。例如定点纯整数约定了小数点在数值位的最后。定点纯小数约定了数值位的最高位在小数点后面。

由于计算机字长的限制，当需要表示的数据有很大的数值范围时，他们不能直接用定点小数或者定点整数表示

二.浮点数的形式

浮点数由尾数M和阶码E构成。基数为2的数F的浮点数表示为：

F

=

M

∗

2

E

F=M*2^E

F=M∗2E

浮点数编码规则：

尾数M必须为小数，用n+1位有符号定点小数表示，可采用的原码，补码。阶码E必须为整数，用k+1位有符号定点整数表示，可采用原码，补码，移码。浮点数编码的位数m=(n+1)+(k+1)浮点数的编码格式有多种，格式的选择可由计算机设计人员决定，例如：

阶符阶码数值部分数符尾数数值部分1k1n

其中：

(1)阶码是整数，其位数k+1决定了浮点数表示的数值范围，也就是决定了数据的大小，或小数点在数据中的真实位置。阶符决定阶码的正负。即阶码越长，所能表示的范围越大

(2)尾数是小数，其位数n+1决定了浮点数的精度，如果尾数采用小数且位数n足够长，则当浮点数运算需要对尾数运算结果舍入时，造成的数据精度损失会比较小。即尾数越长，所能表示的精度越高

(3)尾数的符号表示浮点数的正负。

1.非规格化浮点数

当对尾数M只要求是小数而无其他限制时，此时的浮点数被称为非规格化浮点数。 假设阶码和尾数都用补码表示，则非规格化浮点数可表示的范围如下：

阶码和尾数数值阶码和尾数数值阶码最小值

−

2

k

-2^k

−2k阶码最大值

2

k

−

1

2^k-1

2k−1尾数最小负值-1尾数最大负值

−

2

−

n

-2^{-n}

−2−n尾数最小正值

+

2

−

n

+2^{-n}

+2−n尾数最大正值

+

(

1

−

2

−

n

)

+(1-2^{-n})

+(1−2−n)

以8位数值位，一位符号位的阶码为例子： 由于用补码表示， 所以阶码的最小值应该为：1 00000000 即 -2^8 = -256 而阶码的最大值应为：0 11111111 即 2^8-1 = 255

再来分析尾数的情况，假设尾数也是8位数值位，1为符号位补码的形式： 由于我们限定了浮点数的尾数只能是小数，所以我们当成定点纯小数的形式进行分析： 1.00000000表示了-1的补码，即尾数的最小负值 1.11111111 表示了

−

2

−

n

-2^{-n}

−2−n的补码，即尾数的最大负值,其原码是1.00000001 0.11111111表示了

+

(

1

−

2

−

n

)

+(1-2^{-n})

+(1−2−n)的补码（原码），即尾数的最大正值 0.00000001表示了

+

2

−

n

+2^{-n}

+2−n的补码（原码），即尾数的最小正值 当然0.00000000表示0，是其最小绝对值

2.规格化浮点数

为了使有限字长的二进制尾数能表示更多的有效数位，同时使浮点数有统一的表示形式，浮点数通常采用规格化形式来表示。

规格化浮点数要求将尾数M的绝对值限定在规定的数值范围之内，即

1

2

≤

∣

M

∣

<

1

（

对

于

原

码

而

言

）

\frac{1}{2}\le|M|<1（对于原码而言）

21​≤∣M∣<1（对于原码而言）

要使尾数的绝对值在此范围内，通过改变小数点的位置（相应地改变阶码）就可以做到。

为什么要这样做，我们举一个最简单的例子，假如一个尾数M用原码表示为： 0.00101000，那么这8位尾数的前2位都是0，这2个0实际上是无效数值位，我们完全可以改写成：

0.101000

x

x

×

2

−

2

0.101000xx \times2^{-2}

0.101000xx×2−2 当1左移到最高位时，尾数后面多出来了两位可以多表示两个有效位来提高精度（尾数越长，浮点数精度越高） 例如同样要表示1101.1000000这个数，那么我们可以有这样的不唯二的两种表示形式：

（

1

）

0.11011000

×

2

4

（1）0.11011000\times2^4

（1）0.11011000×24 其中尾数是0 .11011101，阶码是0 0100

（

2

）

0.00110110

×

2

6

（2）0.00110110\times2^6

（2）0.00110110×26 其中尾数是0 .00110110，阶码是0 1100 (1)和(2)中，(1)是规格化浮点数，而(2)不是规格化浮点数

若尾数M用补码表示， 则当M

≥

\ge

≥ 0时，规格化尾数的形式必须为：

[

M

]

补

=

0.1

X

X

X

X

X

X

X

[M]_补=0.1XXXXXXX

[M]补​=0.1XXXXXXX 则当M< 0时，规格化尾数的形式必须为：

[

M

]

补

=

1.0

X

X

X

X

X

X

X

[M]_补=1.0XXXXXXX

[M]补​=1.0XXXXXXX

其中X为任意二进制值

⭐注意（重点）⭐：

以上形式才是判断浮点数是否规格化的一般方法：看尾数补码的符号位与数值为最高位异或是否为1（即符号位与数值最高位不同）判断浮点数是否规格化的根本思想是：尾数数值位首位必须以有效位开头对于正数补码（原码）而言，有效位为1；对于负数补码而言，有效位为0基于以上判定准则，尾数-1（补码）是规格化形式；尾数-1/2（补码）不是规格化形式，注意不要与原码规格化判定的绝对值范围混淆

三.IEEE754标准浮点数

1.单精度浮点数

IEEE 754规定单精度浮点数的真值一般表示为：

N

=

(

−

1

)

s

×

2

e

−

127

×

1.

f

N=(-1)^s\times2^{e-127}\times1.f

N=(−1)s×2e−127×1.f

单精度浮点数编码格式由三个字段构成：

数符s为1位，表示浮点数的正负尾数编码f为23位(采用原码表示)阶码编码e为8位（含1位阶符，采用移码表示，偏移量127）

其中需要注意的是： （1）IEEE 754中的阶码采用移码来表示，但对于单精度浮点数来说，移码的偏移量不是

2

7

2^7

27而是

2

7

−

1

=

127

2^7-1=127

27−1=127,这是因为IEEE 754将移码编码的全0和全1作为了特殊标识。

（2）IEEE 754浮点数是规格化浮点数，为了能够更多地表示尾数的有效数位，规定尾数真值的整数部分必须为1，尾数编码时整数1隐去，小数部分f用原码表示。

对于阶码e全0和全1时的特殊含义：

(1)当阶码全0，且尾数f不全0时，表示该浮点数不是规格化浮点数，尾数实际为：

0.

X

X

X

X

X

X

X

X

（

次

正

规

数

）

0.XXXXXXXX（次正规数）

0.XXXXXXXX（次正规数）

\space \space \space\space

而不是规定形式的：

1.

X

X

X

X

X

X

X

X

1.XXXXXXXX

1.XXXXXXXX(2)当阶码e全1，且尾数f全为0时，则该浮点数表示正无穷大或负无穷大，当数符s为1时，表示负无穷大，当数符s为0时，表示正无穷大。(3)当阶码e全1，且尾数f不全为0时，则该浮点数表示非数值数据（NaN）。

总结.对于单精度浮点数： (1)阶码的真值E=e-127，并且0

(2)当e=0或255时，在IEEE 754中表示特殊的数。

(3)所能表示的范围为：

正

数

为

：

+

2

+

127

×

(

1

+

1

−

2

−

23

)

到

+

2

−

126

×

(

1

+

0

)

正数为：+2^{+127}\times (1+1-2^{-23})到+2^{-126} \times (1+0)

正数为：+2+127×(1+1−2−23)到+2−126×(1+0)

负

数

为

：

−

2

+

127

×

(

1

+

1

−

2

−

23

)

到

−

2

−

126

×

(

1

+

0

)

负数为：-2^{+127} \times (1+1-2^{-23})到-2^{-126}\times (1+0)

负数为：−2+127×(1+1−2−23)到−2−126×(1+0)

2.双精度浮点数

简要说明双精度浮点数（与单精度浮点数相类似）：

（1)阶码的真值E的取值范围为：-1022 ~ +1023,偏移量为+1023,阶码移码编码e为： +1 ~ + 2046

（2）双精度浮点数的规格化数表示为：

N

=

(

−

1

)

s

×

2

e

−

1023

×

1.

f

N=(-1)^s \times 2^{e-1023}\times1.f

N=(−1)s×2e−1023×1.f

（3）所能表示的规格化数范围：

正

数

为

：

+

2

+

1023

×

(

1

+

1

−

2

−

52

)

到

+

2

−

1022

×

(

1

+

0

)

正数为：+2^{+1023}\times (1+1-2^{-52})到+2^{-1022} \times (1+0)

正数为：+2+1023×(1+1−2−52)到+2−1022×(1+0)

负

数

为

：

−

2

+

1023

×

(

1

+

1

−

2

−

52

)

到

−

2

−

1022

×

(

1

+

0

)

负数为：-2^{+1023} \times (1+1-2^{-52})到-2^{-1022}\times (1+0)

负数为：−2+1023×(1+1−2−52)到−2−1022×(1+0)

（4）当e=0或e=2047时，在IEEE 754标准中表示特殊的数

浮点数的舍入规则： 1、就近舍入 2、朝0舍入 3、朝正无穷舍入 4、朝负无穷舍入 可以参考博文：IEEE754标准中的4种舍入规则

IEEE754浮点数的下溢

四.浮点数的运算

1.浮点数的加减法

假设有两个浮点数：

X

=

M

x

×

2

E

x

X=M_x \times 2^{E_x}

X=Mx​×2Ex​

Y

=

M

y

×

2

E

y

Y=M_y \times 2^{E_y}

Y=My​×2Ey​

（1）对阶：尾数右移，小阶对大阶，阶码小的尾数右移，阶码+1（2）尾数加减法运算：使用补码运算，减法也采用补码加法实现（3）规格化：尾数加减法运算后，结果可能是非规格化数。如果结果的真值M不满足：

1

/

2

≤

M

<

1

1/2 \le M < 1

1/2≤M<1,则是非规格化数需要规格化处理，根据情况分为以下两种处理方式：

运算结果尾数的规格化处理(左规）：

运算结果尾数的溢出处理(右规）：

（4）舍入处理：尾数右移时将舍弃尾数最低位：1）截断法：直接将右移出的尾数低位丢弃。2）末位恒置1法：无论尾数右移丢弃的是1还是0，保证保留的尾数最低为永远为1。3）0舍1入法：规则如下图所示

浮点数加减法例题：

求解过程：

2.浮点数的乘除法

浮点数的乘法

浮点数的除法

浮点数规格化总结：

五.C语言中的浮点数分析

下面是一段c语言代码：

float a = 12.5;

int *p =(int *) &a;

int b=*p;

printf("b的值为：%d",b);

程序的执行结果是这样的： 我们来思考一下程序为什么会得出这样的结果，其实和IEEE 754单精度浮点数的存储规则密切相关：

学过c语言指针的同学不难看出，上面的代码不过是将单精度浮点数a 4个字节的存储空间中的所有数以整数int形式读出了而已。

下面我们根据IEEE 754单精度浮点数的规则，来推断12.5在4个字节的存储空间里是以怎样的二进制形式存放的。

IEEE 754单精度浮点数规定，1位数符，8位阶码（移码），23位尾数（原码）。 那么12.5的

数符s为：0

尾数为：10010000000000000000000（原码1.1001的小数部分：.1001）

阶码为：10000010（阶码真值为3，移码为：3+127=130） 所以，整个32位的浮点数为： 01000001010010000000000000000000 将得到的二进制形式转换为10进制查看： 转换之后与程序得出的结果一致，这就证明了C语言中float类型确实采用了IEEE 754单精度浮点数的标准。

补充内容：IEEE754浮点数的渐进下溢

补充内容：浮点数精度丢失分析